三角形

内角和=180°

求三角形面积

已知底和高

$$ 面积 = \frac{底*高}{2}  => S = \frac{1}{2} LH $$

高=H 底=L

正弦定理(sin 求边长和角度)

适用场景：
已知两个角和任意一条边（求其他边）。
已知两条边和其中一边的对角（求其他角）。

公式内容：
三角形的三条边与其对应角的正弦值的比相等

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B } = \frac{c}{\sin C } = 2R $$

a、b、c是三角形边，A、B、C三角形角度，R是外接圆半径

余弦定理(cos 求边长和角度)

适用场景：
已知三条边（求任意角）。
已知两条边和它们的夹角（求第三条边）。

公式内容：
任意一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

$$ a^{2} = b^{2}+c^{2}-2ac \cos A $$

$$ b^{2} = a^{2}+c^{2}-2ac \cos B $$

$$ c^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab \cos C $$

三角形面积公式

$$ 面积 = \frac{1}{2}两边之积 * 夹角正弦 => S=\frac{1}{2}ab \sin C =\frac{1}{2}ac \sin B =\frac{1}{2}bc \sin A $$

直角三角形定理

只有∠C = 90°，那么对于锐角 A = 0° < A < 90°

$$ 正弦 A = \frac{对边}{斜边} => \sin A = \frac{a}{c} $$

$$ 余弦 A = \frac{邻边}{斜边} => \cos A = \frac{b}{c} $$

$$ 正切 A = \frac{对边}{邻边} => \tan A = \frac{a}{b} $$

边长公式

$$ 斜边^2 = 对边^2 + 邻边^2 => c^2 = a^2 + b^2 $$

特殊三角形三边比值

等边三角形 ∠60 ∠60 ∠60

$$ a:a:a = 1:1:1 $$

等腰直角三角形 ∠90 ∠45 ∠45

$$ a:a: \sqrt 2 a =1:1:  \sqrt 2$$

等腰三角形 ∠120  ∠30 ∠30

$$ a:a: \sqrt 3 a =1:1:  \sqrt 3 $$

直角三角形 ∠30 ∠60 ∠90

$$ a: \sqrt 3 a : 2a=1:  \sqrt 3 :2 $$

直角三角形

$$ a: 2a : \sqrt 5 a=1 :2 :  \sqrt 5 $$

总结

目标	已知条件	使用工具
求边长	直角三角形	sin,cos,tan
	任意三角形 (知两角)	正弦定理 ( sin )
	任意三角形 (知两边夹一角)	余弦定理 ( cos )
求角度	直角三角形	sin−1 ,cos−1 ,tan−1
	任意三角形 (知三边)	余弦定理 ( cos )
求面积	任意三角形 (知两边夹一角)	面积公式 ( 1/2 ab sin C)

向量求面积

$$ 已经 ∠ABC，AB=X1Y1 AC=X2Y2 $$
$$ S∠ABC=\frac{1}{2} (X1Y2-X2Y1) $$

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